L’elettrone, che è la particella più leggera in natura, è stato scoperto da più persone in modo indipendente, ma fu J. J. Thompson per primo a dotarlo di una massa e una carica ben definite.
Nel corso dell’ultimo secolo, né la fisica classica, né la fisica quantistica sono mai riuscite ad esprimere un modello soddisfacente, della massa e della carica dell’elettrone, ne’ l’hanno mai cercato.
Wolfgang Pauli già nel 1921 in “Relativitätstheorie” affermava:
L’elettrodinamica di Maxwell–Lorentz non è compatibile in generale con l’esistenza di cariche, fintanto che non venga integrata con elementi ad essa estranei.
La Meccanica Quantistica non fu in grado di sopperire all’integrazione di questi elementi. Infatti, sebbene abbia costruito una Elettrodinamica Quantistica che tenta di descrivere il campo e la dinamica dell’elettrone, essa non è mai stata capace di esprimere né un modello della massa, né un modello della carica.
Così a tutt’oggi, non esiste nemmeno la più pallida ipotesi ragionevole di un qualsiasi modello fisico dell’elettrone. Al suo posto è venuta formandosi, forse inconsapevolmente, o forse deliberatamente, una Fisica del “come se”.
- L’elettrone viene via via dotato di incomprensibili e contraddittorie proprietà:
- come se fosse un corpuscolo,
- come se fosse un’onda,
- come se girasse su se stesso,
- come se la sua carica fosse distribuita sulla superficie del suo campo elettrico,
- come se avesse proprietà puntiformi,
- come se la contrazione puntiforme del suo campo aumentasse all’infinito la sua massa, e via di questo passo.
Fra le tante proprietà di cui è stato dotato l’elettrone, lo “spin” è quella che più lo avvicina alla possibilità di poter concepire un qualche modello almeno visualizzabile, ma la Meccanica Quantistica si guarda bene dall’ammettere che possa esistere un modello fisico dell’elettrone.
Nel 1925 S. A. Goudsmit e G. E. Uhlembek , nel tentativo di spiegare le anomalie degli spettri dei raggi X emessi dall’atomo di Bohr, avanzarono l’ipotesi che l’elettrone ruotasse sul suo asse come una trottola.
Paul A. M. Dirac si assunse il compito di giustificare matematicamente per la Meccanica Quantistica il valore dell’energia di quello che poi venne chiamato lo “spin” dell’elettrone.
Durante questa ricerca egli si imbatté in una equazione quadratica che sembrava la soluzione cercata, ma che non era compatibile con le esigenze matematiche della Meccanica Quantistica, che richiede che le equazioni delle energie siano lineari.
Così modificò la prima equazione ottenendo un’altra equazione, che soddisfaceva le esigenze di linearità della Meccanica Quantistica, ma che aveva comunque due diverse soluzioni per l’energia dello spin, una negativa ed una positiva.
Sembrava a Dirac inevitabile interpretare le due soluzioni dell’energia, se non nei termini dell’esistenza di due diverse particelle dotate di cariche opposte. Una doveva essere l’elettrone, con energia positiva, mentre l’altra doveva essere un “Ente”, che egli, profondamente condizionato dalla meccanica quantistica, non riuscì a chiamare particella, ma che doveva possedere uno spin contrario a quello dell’elettrone.
Qui proseguì nella fisica del “come se”.
Più che mai condizionato dai dettami della QM s’impantanò nell’interpretazione di una ipotetica energia negativa dell’altra particella, dotandola, sì di una carica opposta a quella dell’elettrone, ma intendendola come fosse un “buco” nell’universo degli “autostati” della Meccanica Quantistica.
Un “buco” in un antimondo in cui l’elettrone poteva gettarsi colmandolo, facendo scomparire sia l’elettrone che il “buco”, mentre le due energie si liberavano, manifestandosi nel mondo reale come normali fotoni di radiazione.
Una volta di più possiamo verificare come sia difficile interpretare la natura a seguito di un’intuizione matematica, senza essere dotati di un adeguato modello fisico di supporto.
Figura 29. La scoperta delle tracce del positone.
Nella camera a nebbia, sotto l’influsso di un campo magnetico, C. D. Anderson scoprì le tracce di una particella proveniente dall’alto che, attraversando una lastra di piombo, accentuava la curvatura della sua traiettoria.
Dal confronto tra le curvature delle tracce, egli riuscì a stabilire che si trattava di una particella di carica positiva, che perdeva velocità nell’attraversamento della lastra, e che la sua massa era pari a quella dell’elettrone.
Così il “buco” di Dirac scomparve di morte naturale come un concetto insoddisfacente e venne sostituito da una vera e propria particella di carica positiva chiamata Positone, che era l’antiparticella dell’Elettrone, la cui esistenza venne poi sperimentalmente provata.
Le due particelle di carica contraria potevano quindi annichilarsi incontrandosi, così come previsto da Dirac, producendo poi fotoni che avevano la stessa energia posseduta dall’Elettrone e dal Positone.
Inoltre Dirac previde che fosse possibile anche la reazione opposta: l’energia di radiazione, interagendo con altre particelle o con un nucleo, poteva materializzarsi in coppie di particelle e antiparticelle, producendo quelle che furono poi chiamate “le coppie di Dalitz”, formate da elettrone e positone.
Ci sono milioni di fotografie, fatte nelle camere a bolle di tutti i laboratori del mondo, che testimoniano la felice previsione di Dirac della creazione di coppie, ma nessun modello fisico di come questo avvenga.
Figura 30. Le Coppie di Dalitz e i tripletti di particelle in una camera a bolle.
Anche qui per la meccanica quantistica c’era una scatola chiusa, in cui entrava un fotone di adatta energia, e da cui uscivano a sorpresa un Elettrone ed un Positone.
I famosi diagrammi di Feynman, nella loro caratteristica schematicità, esprimono con estrema precisione l’impotenza della Meccanica Quantistica nella rappresentazione di un “modello” per il fenomeno della creazione delle coppie di Dalitz. Tutto accade in una scatola chiusa ed imperscrutabile.
Cosa succeda all’interno della scatola nessuno è mai stato in grado di dirlo, ma noi ne vedremo un modello plausibile e conseguente ai dettami della TOC, proseguendo nella descrizione dell’effetto Compton ondulatorio, in una evoluzione del tutto naturale, finora insospettata.
Figura 31. Diagrammi di Feynman per la creazione e l’annichilazione di elettrone – positone.
Sulla possibilità della fisica di esprimersi per modelli sono state scritte innumerevoli dissertazioni, ma nessuno ha avuto mai alcun dubbio sulla capacità dei modelli di aderire alla realtà fisica dei fenomeni reali.
Tutti, sempre, sono stati d’accordo nel considerare il modello come una comoda ideale costruzione fittizia, di un qualche aspetto della nostra conoscenza del fenomeno da indagare, negando fermamente una qualsiasi realtà fisica al modello in sé .
Eppure senza i modelli tutto ciò che resterebbe della nostra conoscenza si ridurrebbe a scarne formule matematiche, non sempre dotate di significato fisico.
Formule inadatte a creare immagini nella nostra mente, che crede di capire solo quando riesce a “vedere o immaginare” un meccanismo, composto ed elaborato dall’insieme dei “modelli più semplici” che ci sono serviti a descrivere il fenomeno, scomponendolo nelle sue parti discrete, il più elementari possibile.
L’esigenza di uno schema che ci conduca dal conosciuto a ciò che ancora vorremmo conoscere si sviluppa naturalmente nella nostra mente per modelli via via più complessi, e nessun condizionamento positivista o operativista è in grado di mutare il modo di procedere del nostro cervello.
Anche i più accaniti assertori, della descrizione probabilistica del mondo elementare dei fenomeni quantistici, sono costretti a ragionare per modelli; essi asseriscono che lo fanno loro malgrado, ma che sono coscienti della necessità di liberarsi da questa cattiva abitudine.
Al contrario qui si asserisce che il modello geometrico è il pilastro su cui si basa la nuova fisica della geometria che si sta per fondare.
Pur riconoscendo che il modello può essere una costruzione molto spesso incompleta e passibile di modifiche e di evoluzioni, noi dobbiamo stabilire un rapporto diverso di quello che finora era in atto tra la fisica e i modelli della fisica.
La nuova teoria ha un rapporto diverso con i suoi modelli.
La geometria dello spazio e del tempo si pone, come obiettivo primario, di “spiegare e descrivere” proprio le forme geometriche in cui si organizzano le perturbazioni della geometria dello spazio–tempo discreto di Schild.
Quando queste rappresentazioni venivano chiamate “modelli fisici ideali” esse accennavano simbolicamente alle relazioni tra i fenomeni fisici che erano indagati.
Ma ora il modello non è più solamente una rappresentazione simbolica, esso vuole descrivere ancora i fenomeni fisici, ma, all’interno di una rappresentazione geometrica dello spazio–tempo, esso vuole descrivere l’essenza stessa della realtà, appunto la sua natura geometrica.
Quando il nuovo paradigma sarà accettato, esso verrà giustificato dalle nuove leggi della geometria dello spazio–tempo discreto, che si sostituiranno integralmente alle vecchie leggi della fisica, ed i suoi modelli pretenderanno di essere molto di più di un comodo artificio mnemonico.
Il modello ondulatorio dell’effetto Compton, che mostreremo ora in un passo ulteriore della sua evoluzione che finora abbiamo totalmente ignorato è un modello prettamente geometrico.
Come abbiamo già visto, il valore del termine che è stato aggiunto alla formula della relatività generale, per la deviazione della luce da parte della massa del Sole, risulta determinante per piccole masse solo quando il fattore aggiunto,
( λo2 / r λ i ) è vicino all’unità.
Prendiamo in esame la possibilità che l’angolo di deviazione del fotone possa essere superiore agli angoli normalmente sperimentati nell’effetto Compton, e che, al limite, l’angolo di diffrazione possa risultare pari a
Φ = 2 π .
Dato che nessuna questione di principio si oppone ad una tale eventualità, osserviamo, nel solito esperimento ideale, un elettrone che viene investito da un fotone di lunghezza d’onda pari a una metà della lunghezza d’onda di quiete dell’elettrone λ e / 2 e che viene deviato di un angolo di 360°.
Vediamo il fenomeno in quattro tempi distinti:
- Come accade nell’effetto Compton, il Principio di Simmetria Relativa spinge l’elettrone alla velocità v 1, dato che il fotone gli imprime “metà” della sua quantità di moto, così la lunghezza d’onda, λ e / 2 delle onde che rincorrono l’elettrone, diventa il doppio: λ i = λ e .
- Il fotone decaduto viene diffratto dal campo dell’elettrone per un angolo di 180°, compiendo un primo mezzo giro attorno all’ostacolo diffrangente.
- Il treno d’onde continua ad essere diffratto, ruotando di altri 180°, chiudendo un circuito completo dell’elettrone.
Figura 32. Guide d’onda la cui curvatura varia, mentre la condizione di risonanza può permanere purché la loro lunghezza sia un multiplo intero della lunghezza d’onda delle onde che vi si propagano.
Il treno d’onde si trova, al limite, ad aver ruotato su un’orbita circolare in un circuito chiuso.
Ora interviene una condizione ondulatoria che guiderà il comportamento successivo del fotone.
Se la lunghezza del circuito, in questo caso circolare, percorso dal fotone è pari alla sua lunghezza d’onda il treno d’onde si trova sottoposto alla “legge di risonanza” per le onde.
Nell’ambiente dello spazio–tempo discontinuo non esistono assorbimenti. Quindi il percorso circolare fatto dal fotone, in uno spazio chiuso su se stesso, può ottemperare alla legge della risonanza ondulatoria, che ne permette la condizione di stazionarietà, se la sua lunghezza d’onda finale è pari alla lunghezza dell’orbita chiusa percorsa dall’onda.
Il fotone circolare ha ora una lunghezza d’onda uguale a quella di quiete dell’elettrone. Si richiude su se stesso e perpetuando il moto circolare della sua onda si stabilizza “sull’orbita di risonanza” :
2 π ro = n λo
Per (n = 1) si verifica il caso più semplice, secondo il quale si prevede che una sola superficie d’onda sia in circolazione sull’orbita di risonanza.
4) Nel quarto passo: il treno d’onde del fotone incidente, una volta che ha compiuto un giro può compiere più giri, sovrapponendo tutte le sue superfici d’onda alla prima, che si era già disposta in condizione di risonanza e rinforzandola, sull’orbita di raggio ro.
Questo gli permette di assorbire ciò che resta del fotone creatore, che scompare inglobato nel sistema d’onde in risonanza, sovrapponendo tutti i suoi fronti d’onda al fronte d’onda in risonanza.
C’è a questo punto una domanda produttiva che possiamo porci, che concerne una condizione particolare del modo di propagarsi di questo fronte d’onda, che circola su un circuito chiuso in condizione di risonanza.
“Quanta parte o porzione del fronte d’onda si trova nella condizione di risonanza?”
Di tutto il fronte d’onda, solo la parte più vicina al centro del campo ondulatorio sferico deviante, si viene a trovare nella condizione di risonanza.
In pratica solo quelle porzioni del fronte che hanno come traiettoria di propagazione l’orbita di risonanza stessa possono aderire alla condizione di risonanza.
Il resto del fronte d’onda, formato dalle superfici d’onda elementari, si propaga su traiettorie che sono dipendenti dalle condizioni specifiche di propagazione che sono imposte alle onde elementari, e come abbiamo già visto:
ogni porzione discreta del fronte di propagazione di un’onda elementare si muove in direzione perpendicolare alla tangente della superficie d’onda.
Figura 33. La curva piana evolvente si sviluppa sul piano di risonanza dell’onda diffratta per 360°, venendo prodotta dalla proiezione delle superfici d’onda che circolano sull’orbita di risonanza.
Essendo costretto ad ottemperare ad “entrambe” le condizioni contemporaneamente, il fronte d’onda diffratto viene deformato durante la sua propagazione, e si dispone complessivamente, per proiezione, secondo una superficie caratteristica che richiama alla mente la conchiglia di un Nautilus, formata dalla proiezione di una curva particolare, conosciuta in geometria e in meccanica come:
Evolvente del cerchio.
La costruzione geometrica tridimensionale che ne risulta è parecchio complessa, e per capirla a fondo dobbiamo costruirla per parti, lavorando prima su due dimensioni, descrivendo in un primo tempo la curva Evolvente Piana che si sviluppa sul piano dell’orbita di risonanza.
Si evidenzia come l’evolvente sia in grado di produrre fronti d’onda sempre più approssimativamente circolari, a distanze dal centro rispetto alle quali ” ro ” che è il raggio dell’orbita percorsa dal fronte d’onda, diventa una quantità trascurabile.
Una caratteristica notevole dell’evolvente è la sua capacità di mantenere inalterata la distanza tra due superfici d’onda successive, il che consente di produrre superfici d’ onda di lunghezza d’onda costante: sempre identiche alla lunghezza dell’orbita di risonanza.
Figura 34. L’Evolvente Piana in vari stadi di evoluzione mostra come la struttura ondulatoria sia da considerarsi sempre più vicino alla simmetria centrale di un disco, man mano che il raggio e la propagazione delle onde aumenta.
Limitatamente ad una rappresentazione bidimensionale, le lunghezze d’onda illustrate dall’evolvente formano un campo d’onda costante.
Per costruire tridimensionalmente il modello, descriviamo la rotazione sull’orbita di risonanza del fotone reale, composto da reali superfici d’onda.
Proiettiamo idealmente lungo l’asse ( z ) dell’orbita di risonanza l’orbita stessa, e otteniamo un cilindro ideale infinito, metà positivo e metà negativo.
Per rendere, come nella realtà, tridimensionale l’evoluzione della superficie dell’evolvente, facciamo elongare, secondo le proprietà temporali del reticolo di Schild, tutti i vettori A che hanno origine sull’orbita di risonanza.
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Fig. 37. Uno per +μ = π / 2 si sviluppa, a partire dall’orbita di risonanza, verso z positivo, l’altro, che è l’immagine speculare del primo: – μ = – π / 2 si propaga verso l’asse z negativo.
Questi vettori che incrementano la loro lunghezza con la velocità “c”, e che si trovano all’interno dell’angolo solido “± u”, producono un fronte d’onda quasi sferico come quello descritto nella figura, nella quale però gli angoli reali che sono serviti alla costruzione geometrica sono:
μ = π / 2 oltre che – μ = – π / 2
Figura 35. La proiezione ortogonale sferica della curva evolvente produce la struttura dell’Evolvente Sferica.
Sembra ora banale che si possa esservi arrivati in questo modo semplice, ma noi possiamo veramente identificare questa costruzione geometrica con quel “meccanismo ondulatorio perpetuo” che cercavamo quale sorgente del campo di massa, e che può produrre continuamente onde sferiche di lunghezza d’onda costante.
Questa è l’Evolvente Sferica che si identifica con una particella elementare, sorgente d’onde e di campo, in quiete, di lunghezza d’onda λ o e
di massa m o .
La lunghezza d’onda prodotta dall’evolvente è pari alla lunghezza dell’orbita percorsa dal fronte d’onda in risonanza:
λ o = 2 π r o
Osservando gli estremi dei vettori A, siamo in grado di descrivere due elicoidi a passo costante che, partendo dall’orbita di risonanza, si avvolgono sul cilindro ideale costituito dalla proiezione attorno all’asse “z “ dell’orbita di risonanza.
Il raccordo sferico tra gli estremi dei vettori A in tutte le loro posizioni intermedie quantizzate, fino al piano dell’orbita, costruisce la superficie di una perturbazione sferoidale che identifichiamo con la superficie d’onda della particella in espansione che abbiamo chiamato:
Evolvente Sferica.
Sembrerebbe un serpente che si morde la coda: un’onda dietro l’altra, senza soluzione di continuità, formano un treno d’onde permanentemente in circolazione sul circuito chiuso dell’orbita di risonanza, che è costituito da una sola superficie.
La superficie d’onda in evoluzione costruisce una spirale sferica che si evolve con la velocità della luce, espandendosi nello spazio con la stessa velocità.
Per incredibile che possa sembrare, data la sua estrema semplicità, o forse appunto per questa sua semplicità, esiste veramente molto più di una qualche possibilità che un tale meccanismo ondulatorio possa esistere veramente e venga prodotto dall’evoluzione delle condizioni ondulatorie che noi abbiamo appena verificato nell’effetto Compton a 360°.
Queste possibilità sono realizzate quando vengono legate al completamento della relatività generale, unite alle condizioni di risonanza, ed alle leggi di propagazione delle perturbazioni dello spazio–tempo di Schild.
Nessuna legge conosciuta vi si oppone, nemmeno il Principio di Conservazione dell’Energia, che si riferisce all’energia secondaria, cioè all’energia di variazione dell’energia primaria, la quale invece riguarda, solo ed esclusivamente, le onde subquantiche.
Può sembrare incredibile, ma ora abbiamo un modello dell’elettrone in cui c’è molto di più di “qualcosa che gira”.
Abbiamo costruito un modello per una “sorgente ondulatoria di campo” che possiamo chiamare: Particella Elementare,
- che può reagire alla presenza di fotoni,
- che è capace di diffrangerli,
- in cui la massa varia in modo coerente con i dettami della relatività,
- che è dotato di un preciso valore di spin
- e che è del tutto aderente alle rilevazioni sperimentali dell’elettrone .
Abbiamo ora un modello puramente ondulatorio dell’elettrone in cui la massa permane costante, dato che costante è la lunghezza d’onda delle onde del suo campo, che giustifica la sua natura di sorgente d’onde e che, come vedremo più avanti, sarà anche in grado di sostenere un’interazione elettromagnetica ondulatoria ed i campi ad essa associati.
Anche qui “niente di nuovo sotto il sole”, sia de Broglie che Heisenberg avevano pensato all’esistenza di un probabile meccanismo ondulatorio, al livello subquantico, dotato di una frequenza adeguata a giustificare la massa dell’elettrone.
Anche il giapponese Hideki Yukawa, che aveva predetto l’esistenza e la massa del pione, pensava che esso potesse essere l’espressione di una vibrazione elementare del dominio dello spazio–tempo.
Ma un conto è prevedere la necessità di un qualche ente fisico, e un altro è concepirlo, inventarlo, costruirlo, e farlo funzionare sulla base di una teoria, che ha come fondamento un semplice spazio-tempo discreto.
Ora nel modello ondulatorio dell’elettrone che abbiamo realizzato non è più possibile ridurre il suo campo di massa ad un punto matematico.
E la risoluzione di quest’ultima questione merita una digressione nella storia della ricerca della microfisica, che per molti anni fu dedicata a vari tentativi di eliminare gli infiniti nel calcolo dell’energia dei campi e delle particelle.
A quanto si sapeva allora l’elettrone doveva essere considerato come un’entità puntiforme priva di dimensioni.
Ma l’elettrone è anche il suo campo elettrico, e già i fisici dell’ottocento avevano trovato un modo facile per calcolare l’energia di campo elettrico in un singolo punto dello spazio: dividendo la carica elettrica “e” per la quarta potenza del raggio del suo campo sferico:
e 2 / ( 4 π r 4 )
Sommando l’energia di ciascuna sezione infinitesima della superficie sferica del campo considerato, con il metodo degli integrali, si otteneva l’energia totale del campo, che risultava proporzionale al quadrato della carica elettrica e inversamente proporzionale alla quarta potenza del raggio del campo.
Ma il procedimento, pur rivelandosi adatto al calcolo del campo reale, normalmente descritto a distanze macroscopiche, rispetto alle dimensioni dell’elettrone, celava un’insidia:
“quando si passava all’ipotesi di un modello “puntiforme” per l’elettrone, per il quale il raggio del campo doveva contrarsi, ed al limite doveva essere considerato puntiforme e cioè “zero”, l’energia del campo così calcolata diventava infinita”.
Questo metteva in crisi tutta la teoria elettromagnetica, coinvolgendo l’intera fisica nell’incertezza della validità dei postulati più elementari della Meccanica Quantistica.
Con l’Elettrodinamica Quantistica si sperò di poter eliminare gli infiniti “dell’autoenergia”, (così venne chiamata la fonte dell’incongruenza quantistica), ma si verificò poi che anche l’elettrodinamica quantistica prediceva che l’interazione dell’elettrone con il suo campo avrebbe dovuto avere un’intensità infinita.
Inoltre l’irriducibilità dell’autoenergia riguardava anche il campo gravitazionale della particella. Se una qualsiasi massa elementare può essere considerata puntuale, l’energia del suo campo gravitazionale nel punto matematico, con raggio zero, deve essere per forza considerata infinita.
Il rompicapo sembrava irrisolvibile.
La questione tormentò per decenni generazioni di fisici, ma era di una tale importanza per la sopravvivenza della meccanica quantistica che, alla fine, pur di poter ancora credere in essa, fu accettata anche una soluzione formale, puramente matematica, e senza alcun riscontro fisico.
La chiamarono “rinormalizzazione”.
Era un gioco di prestigio matematico, in cui l’astuto illusionista faceva scomparire vari infiniti nel cappello a cilindro, e non soddisfaceva che pochi, ma era l’unica soluzione praticabile, un artificio matematico fisicamente insostenibile, ma l’unica àncora di salvezza formale per la sopravvivenza della Meccanica Quantistica.
Si trovarono degli infiniti negativi da cui sottrarre gli infiniti positivi, così si spazzarono sotto il tappeto l’infinito dell’autoenergia e tutti gli altri infiniti ad esso collegati e, in barba al ridicolo dell’espediente, si sperò di salvare “almeno formalmente” la faccia della meccanica quantistica.
Ebbene ora risulta evidente con la TOC che la riduzione al punto matematico non è più necessaria. Né tantomeno risulta più possibile, dato che la dimensione minima dell’elettrone non può più contrarsi in un infinitesimo, ma è imposta dalla dimensione del raggio della sua orbita di risonanza r o che ha una grandezza precisa, per l’interpretazione ondulatoria della massa dell’elettrone, dato che per la lunghezza d’onda λ o = 2 π r o
ro = h / mo c2 π
Gli infiniti dell’autoenergia, e del campo elettromagnetico e gravitazionale, dell’elettrone scompaiono, alla luce dell’interpretazione del modello ondulatorio.
Nel nuovo modello di particella l’energia del campo è perfettamente determinata dalle dimensioni del raggio di risonanza del fronte d’onda che forma l’Evolvente Sferica.
Ma a qualcuno potrebbe venire in mente un’obiezione facile, derivata dalle rilevazioni sperimentali delle esperienze fatte sulle grandi macchine acceleratrici.
Queste fanno urtare tra loro elettroni e positoni a velocità molto vicine alla velocità della luce, ed i calcoli delle masse relativistiche e delle sezioni d’urto indicherebbero che gli elettroni si avvicinano a distanze inferiori
di 10 – 18 metri.
E questo invaliderebbe le dimensioni date dalla teoria all’orbita di risonanza dell’elettrone che è :
re 2 π = 2, 426 310 215 . 10 – 12 metri = λ e
Ma l’obiezione viene superata esaminando il comportamento relativistico del modello dell’evolvente, che illustreremo più avanti nella teoria, quando verificheremo il comportamento della struttura ad evolvente sferica, in moto a velocità relativistiche, in occasione della spiegazione ondulatoria della forza di Lorentz.
In tale occasione vedremo come il centro di simmetria dell’orbita di risonanza possa essere costretto a spostarsi, all’interno dell’area circoscritta dall’orbita, dalle condizioni relativistiche imposte alla particella, sottoposta all’Effetto Doppler a velocità vicine alla velocità della luce. E ciò giustifica teoricamente le dimension, apparentemente più piccole della particella, deducibili dalle sperimentazioni con le grandi macchine acceleratrici.
La costruzione mentale e geometrica del modello della particella quale sorgente d’onde ha dato molte intime, estetiche, soddisfazioni all’autore, ma anche la successiva descrizione matematica ha giustificato da sola tutta la fatica che è costata.
L’uso dei numeri immaginari (che infelice denominazione), che oltre alle innumerevoli applicazioni alla geometria analitica possono essere anche una comoda simbologia per descrivere la rotazione delle proiezioni geometriche di vettori sugli assi cartesiani, affianca una giustificazione fisica più precisa nella Teoria Ondulatoria del Campo.
Si riesce a descrivere con essi la rotazione di tutti quei vettori, ortogonali a ciascuna porzione discreta di superficie d’onda, che identificano i punti della superficie del fronte d’onda diffratto sull’orbita di risonanza, e costruiscono l’evolvente come una spirale, che cresce a passo costante attorno ad un asse.
Più di qualcuno nel passato ha intuito che, le basi matematiche di questo metodo di rappresentazione delle rotazioni dovevano avere un qualche significato fondamentale nella natura.
Figura 36. La formula finale dell’Evolvente Sferica che matematicamente rappresenta la particella, in cui la parte contornata dal tratteggio esprime la possibilità della variazione del campo d’onde della particella, in funzione della variazione relativistica del suo stato di moto.
(Anche qui l’angolo è: μ = π / 2 oltre che – μ = – π / 2 ).
Eulero impiegò i cinque numeri più significativi della storia del calcolo per definire il limite della successione infinita:
e i π + 1 = 0.
Quando è scritta in altra notazione e i π = –1 questa formula tratta di una serie infinita di vettori che ( i ) fa ruotare costruendo con essì una spirale di segmenti sempre più piccoli attorno al punto –1 del piano cartesiano.
A proposito di questa formula il matematico Benjamin Peirce disse ai suoi allievi, dopo averla scritta: Non possiamo capirla e non sappiamo cosa significhi, l’abbiamo però dimostrata dunque è vera.
Ora invece possiamo capire la sua fondamentale importanza nella descrizione ondulatoria degli elementi primi della materia. Infatti con una sua evoluzione possiamo interpretare matematicamente la struttura geometrica della particella elementare, riuscendo a descrivere, e a comprendere, le proprietà ondulatorie che determinano la sua dinamica come massa.
Non possiamo mancare di stupirci di come l’intuito degli uomini di genio prevenga in un qualche modo misterioso gli avvenimenti. Nessun nesso apparente avrebbe potuto legare in passato questi numeri, sia pur così speciali ma che in sé non contengono alcuna indicazione sul loro possibile impiego all’idea che fossero associabili ad una qualche realtà fondamentale della natura.
Ma il modello ondulatorio dell’Evolvente Sferica contiene in sé molto di più di quanto vi abbiamo introdotto, di più della capacità di produrre onde sferiche di lunghezza d’onda costante, e molto di più della giustificazione della massa ondulatoria.